sabato 22 marzo 2014

BOOMSTICK AWARDS 2014 DI SCIENZA E MUSICA

Da poche settimane è terminata la cerimonia degli Oscar 2014, ma anche nella blogosfera esistono dei riconoscimenti che vengono assegnati, secondo alcune semplici regole, dai blogger ai blogger.
Uno tra questi è il Boomstick Award.

Veniamo al fulcro della questione.
Le regole sono 4 e risultano vincolanti:

1 – i premiati sono 7. Non uno di più, non uno di meno. Non sono previste menzioni d’onore
2 – i post con cui viene presentato il premio non devono contenere giustificazioni di sorta da parte del premiante riservate agli esclusi a mo’ di consolazione
3 – i premi vanno motivati. Non occorre una tesi di laurea. È sufficiente addurre un pretesto
4 – È vietato riscrivere le regole. Dovete limitarvi a copiarle, così come Egli (e per Egli intendo Hell) le ha concepite.

Ho ricevuto (e ne sono lusingato) una nomination dal bravissimo Spartaco Mencaroni de Il coniglio Mannaro:

"con la scusa che ci ha spalancato più di un mondo, almeno due, da molti dei quali non è facile uscire. Potrebbe trascinarci dentro anche voi"

Ora tocca a me il simpatico compito di scegliere 7 blog, non uno di più, non uno di meno, da premiare.
Ed ecco i miei vincitori:

domenica 9 marzo 2014

PI GRECO: I CALCOLI DI NEWTON

Di pi greco abbiamo già numerose volte parlato in questo blog.
L'ultima volta abbiamo persino cercato di ricostruire l'affascinante storia di questa costante matematica.
Cosa ci sarà allora di nuovo da dire su tal numero?
In questo post andremo a scoprire il particolare metodo utilizzato nientemeno che da Isaac Newton, uno dei padri dell'analisi matematica, per determinare le cifre del pi greco.
Nel suo studio sulla emblematica costante, Newton prese in considerazione una semicirconferenza di centro C (1/2, 0) e raggio r = 1/2.




Newton sapeva bene che, in un piano cartesiano, una circonferenza di centro (α, β) e raggio r fosse descritta dall'equazione:




la quale, tenendo presente la figura sopra riportata, diviene:





Sviluppando i quadrati:




da cui si ricava:



ovvero l'equazione della semicirconferenza superiore.
Essa si può anche riscrivere nel seguente modo:




Newton prese in considerazione l'area A sottesa alla curva (nella figura, evidenziata in verde) tra x = 0 e x = 1/4.
Come ben noto, l'area sottesa a una certa curva si può esprimere attraverso un integrale definito.
In tal caso si ha:





Newton applicò il proprio teorema binomiale al fine di rendere l'espressione più maneggevole.
Cos'è il teorema binomiale?
Il teorema binomiale, detto anche formula di Newton, binomio di Newton o sviluppo binomiale, serve ad esprimere lo sviluppo della n-esima potenza (con n naturale) di un qualsivoglia binomio.
La formula è la seguente:





dove





è il cosiddetto coefficiente binomiale, che può essere esplicitato come segue:





Proviamo a sviluppare ad esempio (a + b)⁴ mediante il teorema binomiale:




Esplicitando i coefficienti binomiali:



Ma se invece di avere un esponente naturale avessimo un esponente reale?
No problem, la formula di Newton si può generalizzare!
Il coefficiente binomiale diventa:





dove α è un numero reale e k un naturale.
La formula generalizzata è invece:





L'ultimo termine è una quantità (precisamente un resto) piccolissima, infinitesima, chiamata o-piccolo, che viene fuori dallo sviluppo.

sabato 11 gennaio 2014

ARMONOGRAFI, CURVE DI LISSAJOUS E MUSICA!

In questo post parleremo di un particolare strumento meccanico, l'armonografo, il quale può rendere palese lo stretto legame sussistente tra musica e matematica, più volte sottolineato in questo blog.
Innanzitutto, cos'è precisamente un armonografo?
Trattasi di un'apparecchiatura che, attraverso dei pendoli, disegna singolari curve.

Armonografo




















In una delle sue varianti, un pendolo muove una penna, mentre un altro sposta una superficie su cui è fissato un foglio di carta.
La combinazione degli effetti dei 2 pendoli produce un moto complesso (così come 2 note musicali danno vita insieme a un suono complesso), il quale, a causa dell'attrito, si riduce man mano degenerando in un singolo punto.
Il tratto che la penna lascia ad ogni oscillazione si trova molto vicino a quello tracciato nell'oscillazione precedente, tanto da conferire alla raffigurazione finale un aspetto ondulatorio simile a una ragnatela.
Variando il rapporto delle frequenze dei 2 pendoli e il loro sfasamento (angolo corrispondente alla differenza temporale tra il raggiungimento successivo di una stessa particolare fase, per esempio il massimo oppure il minimo, da parte di 2 oscillazioni) si possono generare curve di molteplici aspetti, più o meno complesse.

Raffigurazione dello sfasamento tra 2 onde











Fu Galileo Galilei, osservando l'oscillazione di una lampada nella cattedrale di Pisa, a comprendere che la frequenza di un pendolo dipende dalla sua lunghezza: più è lungo, minore è la frequenza.
Infatti, per piccole oscillazioni, la frequenza f di un pendolo semplice (costituito da un filo inestensibile di massa trascurabile e da una massa puntiforme fissata a una sua estremità) si può definire attraverso la formula





dove g designa l'accelerazione di gravità sul pianeta Terra, mentre l la lunghezza del filo.
Di conseguenza, la frequenza può essere modificata a piacimento fissando il peso del pendolo a diverse altezze.
Ed ecco un magnifico video relativo all'armonografo in azione:



Nella versione più semplice, i tracciati realizzati dall'armonografo vengono catalogati come curve di Lissajous.
Le curve (o figure) di Lissajous, dette anche figure di Bowditch o curve del gioco di Alice, sono eleganti curve piane, costruite come composizione di 2 oscillazioni armoniche (abbiamo parlato di moto armonico nel post intitolato "Helmholtz e la dissonanza", che consiglio vivamente di rileggere a chi non ricordasse i dettagli di tale tipologia di moto) perpendicolari.
Esse presentano equazioni parametriche del tipo:





Potevano anche essere scritte attraverso la sola funzione coseno oppure mediante il solo seno, dato che è possibile passare dal seno al coseno in modo molto semplice, giacché la sinusoide altro non è che una cosinusoide sfasata di un angolo di 90°.









La forma di una curva di Lissajous dipende appunto da vari parametri:
  • A, B rappresentano le ampiezze di tali moti;
  • ωx, ωy ne rappresentano le frequenze angolari;
  • φx, φy ne rappresentano le fasi.
    Nel caso particolare in cui ωx = ωy la curva in questione è un'ellisse, la quale diviene una circonferenza nel caso in cui si abbiano anche le uguaglianze







    La curva si riduce poi a un segmento se, oltre ad avere ωx = ωy, si ha anche



     


    Un'altra semplice figura che è possibile ottenere è la parabola; ciò avviene quando
































    Inoltre, una curva di Lissajous si chiude se e solo se il rapporto





    è un numero razionale.
















    L'animazione appena riportata mostra l'adattamento della curva a un progressivo incremento di 0,01 del suddetto rapporto (nell'animazione chiamato a/b), a partire da 0 fino a 1.
    Le suddette curve furono oggetto di studi da parte dell'astronomo e matematico statunitense Nathaniel Bowditch (1773-1838) e, successivamente, vennero ampiamente studiate pure dal matematico francese Jules Antoine Lissajous (1822-1880).
    Andiamo a scoprire un po' meglio questi 2 personaggi; in particolare, la biografia del primo è davvero molto interessante e merita di essere approfondita per bene.

    lunedì 23 dicembre 2013

    CARNEVALE DELLA CHIMICA #34: ATOMI, IONI E PARTICELLE

    "Poiché nel corso infinito del tempo sono stati usati e riusati incessantemente, per aggregare e disgregare le cose più diverse, questi atomi devono essere dotati di una semplicità elementare." Lucrezio, De rerum natura


    Benvenuti al Carnevale della Chimica n.34!
    Il tema di questa edizione è, come sempre avviene nei Carnevali ospitati su Scienza e Musica, ampio e ricco di sfaccettature: "Atomi, ioni e particelle".
    Prima di osservare la sfilata dei meravigliosi contributi arrivati, come tradizione, il Carnevale si apre con una corposa introduzione sul tema prescelto.
    This is the beginning!



    La parola "atomo" deriva dall'aggettivo greco àtomos, ovvero "indivisibile", "privo di parti".
    Il concetto di atomo è davvero molto antico: diversi filosofi greci avevano infatti congetturato l'esistenza di un mattone fondamentale della natura, il quale risultasse appunto indivisibile.
    Il fondatore, nel V secolo a.C., della scuola atomistica fu Leucippo di Mileto, nome tuttavia poco noto al grande pubblico, in quanto completamente oscurato da quello del suo allievo Democrito di Abdera (460 a.C. - 370 a.C.).
    Democrito, con le sue idee, riuscì in un certo senso a fondere insieme le 2 grandi scuole di pensiero che sussistevano all'epoca: la visione di Eraclito e quella di Parmenide.
    Per Eraclito di Efeso (535 a.C. - 475 a.C.) nel mondo non esiste nulla che stia fermo: tutto quanto è in incessante movimento.
    Non a caso egli viene particolarmente ricordato per il motto pánta rhêi, ossia "tutto scorre".
    Secondo tale singolare prospettiva, non sarebbe possibile bagnarsi 2 volte nel medesimo fiume, giacché le sue acque si rinnovano in modo continuo.
    L'antitesi di Eraclito fu appunto Parmenide di Elea, assieme alla sua concezione dell'Essere che "è e non può non essere".
    Sì, detto così sembra proprio uno scioglilingua!
    In pratica, quello che Parmenide intendeva dire è che esiste solamente un qualcosa denominato "Essere", il quale possiede determinate peculiarità:
    • è eterno;
    • è finito;
    • è ingenerato e imperituro;
    • è immutabile e immobile.
    Dunque per Parmenide la molteplicità e i mutamenti del mondo fisico sono mere illusioni e la vera realtà è fornita unicamente dall'Essere.
    Democrito riuscì ad unificare 2 visioni filosofiche così discordanti proprio mediante il concetto di atomo.
    Infatti, a detta del filosofo, anche se un oggetto appare immobile e statico, la sua struttura "intima" è costituita da atomi, intervallati dal vuoto, i quali si muovono senza sosta.
    La teoria degli atomi ebbe anche molti critici, tra cui Aristotele, il quale sosteneva fermamente che la materia potesse essere suddivisa all'infinito in particelle sempre più piccole ed uguali fra loro.
    L'idea dell'atomo venne ripresa anche in epoca latina, in particolare da Epicuro (341 a.C. - 271 a.C.).
    Per Epicuro e i suoi discepoli nulla si generava dal nulla, e per le cose non c'era né inizio né fine.
    Il movimento degli atomi nel vuoto risultava soggetto soltanto al caso e alla necessità.
    Il caso rappresentava il risultato delle leggi meccaniche che regolavano le traiettorie degli atomi, i quali potevano muoversi in qualsivoglia direzione.
    La necessità designava invece la conseguenza della loro tendenza naturale a compiere bruschi spostamenti nel procedere in linea retta, il che generava un movimento caotico.
    Epicuro ebbe un importante discepolo nel poeta Lucrezio, che, nel suo poema epico-didascalico De rerum natura, fornì un'approfondita descrizione della teoria atomica, tanto che il primo dei 6 libri che compongono la maestosa opera ha come sottotitolo "Gli atomi".
    Riporto un significativo frammento, tratto appunto dal libro I:

    "Tra i corpi, alcuni sono semplici e altri composti. I corpi semplici, o "atomi", sono indistruttibili proprio per la loro semplicità: essi resistono a ogni forza che cerchi di scomporli, non essendo composti. Però, è difficile credere all'esistenza di cose indecomponibili. Infatti, i mattoni dei muri sono permeabili ai fulmini celesti e alle voci umani. Il fuoco permea e arroventa il ferro, spezza le pietre, scioglie il duro oro e fonde il gelido bronzo. Una coppa d'argento si scalda e si raffredda, tenuta in mano o riempita di vino fresco. Sembra dunque che al mondo non ci sia niente di semplice, ma la ragione e la natura delle cose ci diranno altrimenti. Presta dunque molta attenzione ai prossimi argomenti, nei quali ti dimostro l'esistenza degli atomi, le loro proprietà, e il modo in cui essi costituiscono tutte le cose del mondo. Anzitutto, abbiamo visto che la materia è diversa dal vuoto: le loro nature sono distinte e separate, perché dove c'è materia non c'è vuoto, e dove c'è vuoto non c'è materia. I corpi semplici devono dunque essere materiali e privi di vuoto. I corpi composti, invece, contengono del vuoto circondato da materia. Se non ci fosse del vuoto, tutto sarebbe materia. E se non ci fosse materia, tutto sarebbe vuoto. Ma poiché non ci sono né il pieno assoluto, né il vuoto assoluto, devono esserci atomi capaci di aggregarsi per delimitare il vuoto. E questi atomi sono indistruttibili, perché si può distruggere solo ciò che contiene del vuoto. Anzi, quanto più vuoto contiene un corpo, tanto più è distruttibile, e vulnerabile alle cause della distruzione.
    Gli atomi, invece, che non contengono vuoto, non sono composti, e non possono né essere divisi, né soccombere a elementi distruttori come l'acqua o il fuoco: dunque, sono eterni. D'altronde, se la materia passata non fosse stata eterna, nel corso infinito del tempo sarebbe stata completamente distrutta, e la materia presente avrebbe dovuto essere ricreata dal nulla. Ma abbiamo già stabilito che nulla si crea, e nulla si distrugge. Dunque, gli atomi devono essere immortali, per permettere il farsi e disfarsi delle cose."

    Lucrezio, come avete potuto constatare dal passo appena riportato, asseriva che i corpi fossero aggregati di atomi separati dal vuoto.
    Specificava inoltre che più vuoto essi contengono, più sono leggeri e distruttibili.
    Tale teoria venne ripresa, nel 1704, nientemeno che da Isaac Newton (1642-1727).
    Costui, nella sua opera Ottica e, in particolare, nella Proposizione II,8, si pose il problema di determinare la quantità di vuoto presente in un corpo, riscontrando che se a ciascun livello di aggregazione le parti che si aggregano occupano uno spazio pari a quello del vuoto che le separa, allora la quantità di vuoto cresce in modo esponenziale rispetto al numero dei livelli.
    Nello specifico, al primo è pari a 1/2, al secondo 3/4, al terzo 7/8, al quarto 15/16 e così via.
    In altri termini, più la struttura gerarchica di un corpo risulta stratificata, maggiore è il vuoto che essa contiene.
    Newton capì dunque che "la causa della riflessione non è che le particelle di luce rimbalzano sulle parti solide dei corpi", in quanto essi contengono molto più vuoto di quanto si potesse immaginare.
    Nei primi anni del XX secolo, a Manchester, il fisico e chimico neozelandese Ernest Rutherford (premio Nobel per la Chimica nel 1908) compì diversi esperimenti per sbrogliare una volta per tutte questa intricata questione e capire quanto vuoto contenesse un atomo.
    La questione è ben sottolineata da un aneddoto (riportato in Rutherford, Simple Genius di David Wilson), raccontato dallo stesso Rutherford, riguardo delle giornate del 1909 che avrebbero cambiato la storia della scienza:

    "Un giorno Geiger venne da me e mi chiese: “Non pensi sia ora che il giovane Marsden cominci a seguire un suo piccolo progetto di ricerca?”. Be'...anch'io ci avevo pensato, risposi. “Perché non gli facciamo verificare se qualche particella alfa può subire deflessioni a grandi angoli?”. 2 o 3 giorni dopo Geiger tornò da me in uno stato di grande agitazione: “Siamo riusciti ad acciuffare alcune delle particelle alfa mentre rimbalzano indietro!"...È stata la cosa più sbalorditiva che mi sia mai capitata. Era incredibile, più o meno come sparare un proiettile calibro 381 contro un foglio di carta velina, vederselo tornare indietro e poi esserne colpito."

    Né Rutherford né Geiger avevano compreso pienamente cosa fosse successo nel seminterrato, in quel fatidico giorno del 1909.
    L'incredibile evento fu l'apice di una serie di esperimenti sullo scattering delle particelle alfa.
    In parole semplici, lo scattering (detto anche diffusione) altro non è che un fenomeno in cui onde oppure particelle vengono deviate a causa di un urto con altre particelle o onde, un po' come succede alle palle da biliardo.
    Che cos'è invece una particella alfa?
    Era una domanda che assillava Rutherford dopo che aveva scoperto che i raggi alfa erano particelle dotate di carica positiva che venivano deflesse da intensi campi magnetici.
    Il fisico neozelandese riteneva che una particella alfa fosse uno ione di elio, ovvero un atomo di elio che aveva perso 2 elettroni, ma, fino a quei fondamentali esperimenti assieme al giovane Hans Geiger, non aveva trovato delle prove concrete che confermassero la sua teoria.
    La svolta in tal senso avvenne nell'estate del 1908, periodo in cui i 2 scienziati confermarono che una particella alfa fosse effettivamente un atomo di elio che aveva perduto 2 elettroni, ossia, in simboli, 4He2+.
    E furono proprio le particelle alfa ad aiutare Rutherford nell'investigazione della struttura dell'atomo.
    "La diffusione è il diavolo" aveva asserito il fisico mentre cercava di smascherare, insieme a Geiger, la particella alfa.
    Lo scienziato aveva osservato per la prima volta il particolare fenomeno di scattering 2 anni prima a Montreal, quando alcune particelle alfa che avevano attraversato un foglio di mica erano state lievemente deflesse dalla loro traiettoria rettilinea, producendo una sfocatura su una lastra fotografica.
    Rutherford era fermamente deciso ad approfondire la questione ed ebbe l'occasione giusta a Manchester.
    Egli, una volta giunto a Manchester, aveva infatti stilato una lista di potenziali argomenti di ricerca e affidò appunto a Geiger il compito di indagare sulla diffusione delle particelle alfa.
    I 2 scienziati progettarono assieme un semplice esperimento atto a misurare le scintillazioni, ossia i minuscoli lampi di luce prodotti dalle particelle alfa quando colpivano uno schermo di carta rivestito di solfuro di zinco (ZnS), dopo aver attraversato un sottile foglio d'oro.
    Tuttavia, il conteggio delle scintillazioni era tutt'altro che semplice, un lavoro in cui risultava necessario trascorrere ore ed ore nel buio totale.
    Ma, a detta di Rutherford, Geiger era "bravissimo in quel lavoro e riusciva a contare con qualche interruzione per una notte intera senza che la sua equanimità ne risentisse".
    Questi grandi sforzi servirono per scoprire che le particelle alfa o passavano indisturbate attraverso il foglio d'oro, oppure venivano deflesse di uno o due gradi.
    Era ciò che ci si aspettava, nessuna particolare sorpresa, almeno finché Geiger non riferì di aver osservato anche qualche particella alfa "deflessa di un angolo decisamente apprezzabile".
    Ci stiamo ancora riferendo al 1908, anno in cui Rutherford, come già detto, venne insignito del Nobel per la Chimica per le sue scoperte inerenti alla radioattività.
    Tornato vittorioso da Stoccolma, Rutherford non dormì sugli allori, ma anzi, si mise a studiare come valutare le probabilità associate con differenti gradi di diffusione delle particelle alfa.
    I suo calcoli evidenziarono che sussisteva una probabilità minima, quasi nulla, che una particella alfa passando attraverso un foglio d'oro subisse diffusioni multiple aventi come risultato globale una deflessione a grandi angoli.
    Quella appena raccontata è la premessa al sensazionale episodio che avvenne nel 1909, quando il giovane Ernest Marsden venne incaricato di verificare se le particelle alfa potessero essere diffuse a grandi angoli, con sorprendente risposta affermativa!

    sabato 21 dicembre 2013

    L'ATOMISMO NEL XVI E XVII SECOLO: I "MINIMA NATURALIA"

    In questo post andremo a scoprire una teoria atomica antica e davvero poco conosciuta: quella dei "minima naturalia".
    Il concetto di atomo, introdotto da Leucippo e Democrito, portato poi avanti da Epicuro e Lucrezio, venne totalmente ignorato nel corso del Medioevo.
    In effetti, l'idea dell'atomo venne oscurata dalla teoria aristotelica della continuità della materia.
    Per Aristotele (384 o 383 a.C. - 322 a.C.) una sostanza poteva essere infatti suddivisa all'infinito in particelle sempre più piccole e identiche fra loro.
    Dunque Aristotele rigettava l'idea che la natura si basasse su un qualcosa di indivisibile come l'atomo congetturato dai suoi colleghi Leucippo e Democrito.
    Aristotele giustificava la sua idea di continuità della materia sostenendo la non esistenza del vuoto (il cosiddetto horror vacui).
    Per il filosofo l'essenza delle cose era data dal movimento: ogni corpo si muoveva perché, attraverso una spinta, veniva messo in moto da un altro corpo, il quale, a sua volta, subiva una spinta da un terzo corpo e così via, sino ad arrivare al primo motore o motore immobile o atto perfetto (entelécheia), rappresentato da Dio.
    Dio, nella concezione aristotelica, era la sostanza immutabile ed eterna, il principio supremo dell'universo, il culmine logico su cui affondava le sue radici la macchina cosmica elaborata dal filosofo, e la spiegazione ultima del movimento e del cambiamento.
    Un Dio non rappresentabile come una "persona" o un "ente assoluto" che ama il mondo e che con la propria volontà provvede a regolarlo secondo un piano provvidenziale.
    Il Dio di Aristotele si discostava quindi da quello delle religioni monoteiste.
    Esso era semplicemente il perno essenziale dell'architettura cosmologica aristotelica, una vera e propria chiave di volta, senza la quale l'intero sistema collasserebbe.
























    Siccome l'essenza delle cose, per il filosofo, era data dal movimento, a sua volta dovuto al primo motore, Aristotele non riusciva a concepire dentro questo sistema la presenza del vuoto.
    Sosteneva infatti che la velocità di un corpo variasse con il peso e dipendesse dalla resistenza del mezzo in cui si muoveva; ciò implicava che un corpo, nel vuoto, avrebbe avuto velocità infinita, indipendentemente dal suo peso, fenomeno contrario a quanto mostrava l'esperienza.
    Se il vuoto non esisteva, allora la materia doveva essere continua, fatto che portava a concludere che gli atomi non potevano esistere, visto che tra 2 atomi ci sarebbe dovuto essere il vuoto a delimitarli.
    La materia risultava dunque divisibile all'infinito, proprio perché era impossibile arrivare a porzioni di materia non più divisibili.
    La divisione portava tuttavia a particelle di materia sempre più piccole fino a quando, se ulteriormente divise, perdevano le proprietà della sostanza originaria e non erano più parte di essa.
    Le "qualità", ossia le caratteristiche fisiche di un composto chimico, dipendevano pertanto dalla sua "estensione".
    Queste idee erano state un punto di riferimento filosofico fino all'inizio del XVI secolo.
    Infatti, in cotal secolo si verificò una "battaglia filosofica", che persistette per ben 2 secoli, tra 2 differenti visioni dell'atomismo:

    1) una di tipo meccanico (di cui fu promotore nientemeno che Cartesio), ereditata dall'antica filosofia degli empiristi greci;
    2) l'altra ispirata alla concezione aristotelica della continuità della materia.

    La vera vincitrice di tale confronto intellettuale sarebbe stata la teoria atomica alla base della chimica moderna.
    Entrando nei dettagli di questo duraturo scontro filosofico, l'atomismo meccanico era una teoria generale del mondo fisico che si poggiava sull'esistenza di particelle minuscole, gli atomi, in movimento nel vuoto.
    Questi atomi erano poi considerati immutabili e indivisibili.
    A tale visione "classica" dell'atomo si contrappose appunto la concezione dei minima naturalia (versione latina del termine greco elachista), la quale era basata sia sulle idee di Aristotele prima illustrate, sia sull'idea dell'ilomorfismo, ovvero una concezione metafisica dei corpi visti come combinazione inseparabile di materia e forma.