venerdì 11 marzo 2016

PI GRECO: FORMULA DI STIRLING E TORTE NUZIALI

Come ogni anno, si avvicina il giorno in cui si festeggia la famosa costante matematica pi greco, ovvero il pi day (14 marzo).
Per celebrare questo magico numero in questo post parleremo di un'importante formula in cui fa capolino pi greco.
Iniziamo la sua presentazione riportando un interessante passo da "Le grandi domande, Matematica" di Tony Crilly:

"L'onnipresenza dei computer nella vita moderna ha fatto sì che occorra un gran numero di formule nell'ambito della «combinatoria», la branca della matematica che calcola le possibili combinazioni di oggetti. Tre oggetti, diciamo a, b e c, danno luogo a 3 × 2 × 1 = 6 «permutazioni» (abc, acb, bac, bca, cab, cba) e fin qui non serve una formula. Ma se, ad esempio, stessimo considerando dieci oggetti, il numero di possibili permutazioni salirebbe a 3.628.800, e a un valore formidabile di 9,33 × 10¹⁵⁷ oggetti? Adesso chiaramente una formula ci risparmierebbe molta fatica. Ed è qui che viene in nostro aiuto la «formula di Stirling», così chiamata dal nome del matematico scozzese James Stirling. Che nella formula compaiano anche la costante π e la costante di eulero e è una sorpresa. La presenza di π, che in genere ha a che fare con le circonferenze, e di e, che ha a che fare con la crescita, ci ricorda i nessi sorprendenti che ci offre la matematica, a maggior ragione considerando che il problema originario riguarda solo la moltiplicazione di numeri interi. Eppure la formula è notevole anche per la bontà della sua approssimazione al valore effettivo: nel caso di 100 oggetti se ne discosta appena dello 0,083%."

Dunque, tirando le fila del discorso incominciato da Crilly, la formula di Stirling (detta anche approssimazione di Stirling o formula approssimata di Stirling o formula di Moivre-Stirling, giacché fu il francese de Moivre il primo a stabilirla, anche se con una costante diversa) fornisce la valutazione approssimata del fattoriale di un numero n › 0.

venerdì 11 dicembre 2015

VIAGGIO NELL'«IMMAGINARIO» MONDO DEI NUMERI COMPLESSI

Abbiamo già incontrato in questo blog i numeri complessi, specialmente nel post "2 termini celebri in matematica: indeterminato e impossibile".
Qui andremo a soffermarci maggiormente sulle loro proprietà e su dettagli un po' più tecnici.
Ricordiamo innanzitutto che un numero complesso è nient'altro che una coppia ordinata (x, y) di 2 numeri reali x e y, generalmente rappresentati mediante la forma z = x + iy.
In particolare, i è l'unità immaginariax viene detta parte reale del numero complesso, mentre y ne designa la parte immaginaria.
In simboli:




Nell'insieme dei numeri complessi ℂ vengono definite per ogni z₁ = x₁ + iy₁ e z₂ = x₂ + iy₂ le seguenti operazioni:

- addizione:






Nello stesso modo avviene la sottrazione (unica differenza è il segno):


- moltiplicazione:





Come noto, i numeri complessi vengono rappresentati su un piano, chiamato piano complesso o piano di Argand-Gauss, costituito da un asse orizzontale passante per l'origine (il quale designa l'asse reale) e da un asse verticale passante per l'origine (detto asse immaginario).














L'unità immaginaria i = 0 + 1i verifica la relazione:


Ciò implica che, a differenza di quanto accade nel campo dei numeri reali, un'equazione come z² +1 = 0 ammette soluzione in ℂ.
Ricordiamo che il complesso coniugato di un numero complesso z è semplicemente il numero che viene ottenuto cambiando il segno della parte immaginaria di z.
In simboli: 


Valgono le seguenti proprietà relative ai complessi coniugati:






Per quanto concerne la divisione di 2 numeri complessi, si procede così: per dividere z₁ = x₁ + iy₁ per z₂ = x₂ + iy₂ si moltiplicano il dividendo e il divisore per un numero complesso che sia coniugato del divisore, ovvero x₂ - iy₂.
In simboli:


Per ogni numero complesso z definiamo modulo di z il numero reale non negativo |z|, che equivale a:



Il significato geometrico del modulo è ben spiegato dall'immagine seguente:










L'angolo compreso tra l'asse x e il vettore r, che denoteremo con φ, è denominato argomento di z o, in breve, arg z.




















Ricordando le definizioni di seno e coseno relativamente ai triangoli rettangoli, si può constatare che:




Compattando il tutto:


L'argomento di z non risulta definito se z = 0 e inoltre, se z ≠ 0, arg z è determinato a meno di un multiplo intero di 2π.
Dunque possiamo riscrivere il tutto come:


per ogni k intero se z ≠ 0.
Quella appena riportata è la rappresentazione trigonometrica dei numeri complessi, se z ≠ 0.
In generale, dato un numero complesso, non si riesce a determinare esplicitamente l'argomento, tuttavia sfruttando le formule sopra riportate è sempre possibile risalire al valore del seno e del coseno dell'argomento.

venerdì 12 giugno 2015

GENIALITÀ E ROMANTICISMO: IL RACCONTO DELLA BREVE VITA DI GALOIS

Évariste Galois, matematico francese del XIX secolo, si può considerare un emblema di pura genialità.
La sua storia è breve ma non per questo poco affascinante, come scopriremo in questo post, e terminerà con una vicenda romantica.

Prima di addentrarci in questo racconto, compiamo un rapido excursus inerente alla Francia del 1830.
La Francia a quei tempi non si può considerare una nazione felice.
Il re Carlo X, della dinastia dei Borbone, la quale era stata restaurata a seguito della sconfitta di Napoleone, era vecchio e reazionario.
Dall'altra parte, ovvero all'estremo opposto della scala sociale, Parigi (a causa di una celere urbanizzazione, unita all'industrializzazione) stava diventando un'orrenda baraccopoli, ove centinaia di migliaia di persone pativano quasi la fame.
Si trattava della Parigi splendidamente descritta da Balzac e Victor Hugo, nella quale una borghesia materialista e troppo ambiziosa se la spassava mentre la sottoclasse era in subbuglio, un popolo le cui miserie venivano alleviate solamente da rari gesti caritatevoli.
Nel 1830 il prezzo del pane si innalzò alle stelle, comportando una perdita del proprio lavoro da parte di 60 mila parigini.
A luglio sorsero insurrezioni: il popolo prese il controllo della città, costringendo Carlo X ad abbandonare il paese.
I deputati parlamentari della borghesia progressista nominarono nuovo re (il cosiddetto "monarca di luglio") Luigi Filippo, duca d'Orléans, di un ramo collaterale dei Borbone.
Costui era una personalità corretta e modesta, che contribuì a portare un'atmosfera radicale all'interno della politica francese, ma i francesi non potevano accontentarsi di una figura soltanto liberale.
Ergo, gli anni '30 del suddetto secolo furono segnati da diverse insurrezioni, fra cui quella di Parigi del 1831.
Fu un'epoca drammatica, in cui giovanotti dalle teste calde e dalle forti idee sapevano che era elevato il rischio di essere sorvegliati dalla polizia o addirittura di finire in prigione.
Teniamo ben presente questi fattori e scopriamo finalmente la biografia di Galois.

domenica 29 marzo 2015

IL (NON) CARNEVALE DELLA FISICA #7

"Certe volte mi domando perché sia stato proprio io a elaborare la teoria della relatività. La ragione, a parer mio, è che normalmente un adulto non si ferma mai a riflettere sui problemi dello spazio e del tempo. Queste sono cose a cui si pensa da bambini. Io invece cominciai a riflettere sullo spazio e sul tempo solo dopo essere diventato adulto. Con la sola differenza che studiai il problema più a fondo di quanto possa fare un bambino." Albert Einstein


Benvenuti alla 7ª edizione del (non) Carnevale della Fisica, primissima edizione di questa nuova kermesse ospitata su Scienza e Musica!
Trattasi di un Carnevale un tantino differente dal classico Carnevale scientifico, infatti nel suddetto caso non sono i partecipanti a inviare i loro contributi, bensì è il curatore dell'edizione a selezionare un singolo articolo per ciascun blogger di cui vorrà segnalare un interessante contributo relativo alla fisica.
Non essendoci un tema specifico da seguire, ci si potrebbe aspettare che non ci sia un'introduzione al Carnevale.
Beh, volendo fare qualcosa di originale, non ci sarà la classica introduzione "chilometrica" sul tema prescelto (usuale nei Carnevali ospitati su Scienza e Musica), ma avremo comunque una (spero) degna introduzione, aspetto che dovrebbe sempre (quando possibile) essere presente in un Carnevale scientifico.

lunedì 9 marzo 2015

IL (NON) CARNEVALE DELLA FISICA N.7 PRESTO SU SCIENZA E MUSICA!

Annuncio con estremo piacere che l'ultima domenica di marzo, ossia il 29 marzo, verrà ospitato su questo blog il (non) Carnevale della Fisica, una creazione di Gianluigi Filippelli, curatore del blog DropSea.
























Come fa intuire la denominazione dell'evento, il (non) Carnevale funziona in modo un tantino diverso rispetto ai carnevali "classici".
Sarà in questo caso il blogger ospitante a scegliere un singolo post per ogni blogger segnalato e la scelta sarà dettata dal semplice apprezzamento del curatore della kermesse per il suddetto post.
Per maggiori dettagli vi rimando qui, dove troverete la lista completa delle edizioni precedenti.
A presto con il (non) Carnevale della Fisica (e anche un po' della musica)!