IL PROF. MERLINO E LE MERAVIGLIE DELLA MATEMATICA (3ª PARTE)

"Avrete certamente studiato qualcosa riguardo la probabilità. Classicamente viene definita, considerando un certo evento, come il rapporto tra il numero di casi favorevoli e quelli possibili dell'evento in questione. Quando lanciate per esempio un dado per osservare che numero uscirà, c'è un solo caso favorevole su 6 possibili, quindi la probabilità che esca un certo numero è 1/6. Lanciandone 2 simultaneamente, avremo, per il fatto che la probabilità di 2 eventi indipendenti è pari al prodotto delle probabilità dei singoli eventi, 1 caso favorevole su 36 possibili.

I 36 casi possibili

È consuetudine esprimere la probabilità in termini di percentuale: lanciando una moneta non siamo soliti dire che abbiamo 1/2 di probabilità di ottenere testa, ma il 50% di probabilità. La probabilità che un certo evento accada è sempre compresa tra i valori 0 (non accade mai) e 1 (c'è la certezza che esso accada), o, in altri termini, tra lo 0% e il 100%.
La probabilità e la sorte sono inoltre concetti decisamente antici. Sono stati infatti rinvenuti dadi fatti con ossa di animali che risalgono all'epoca neolitica, oltre 6000 anni fa, e appaiono molto simili a quelli moderni. Tali dadi primitivi si chiamavano astragaloi e venivano ricavati da alcune particolari falangi delle pecore che avevano 2 facce arrotondate e 4 facce quadrate quasi uguali. Gli antichi uomini giocavano con questi dadi, scommettendo sugli esiti possibili. Per difendersi dall'imprevedibilità del caso, i Greci avevano inventato addirittura una divinità, la Tiche - dai Romani chiamata poi Fortuna -, alla quale appellarsi per ottenere un minimo di benevolenza. 
Bisognava tuttavia saper cogliere il momento giusto, il cosiddetto kairós, un lampo di luce la cui durata era quella di un battito di ali di una farfalla e che dunque si poteva agguantare solo molto rapidamente.

Kairós

Anche tal concetto veniva impersonato da un dio, l'ultimo dei figli di Zeus, un giovane che appariva nudo, con la testa rasata ad eccezione di un ciuffio che gli pendeva sulla fronte. Costui era sempre in celere movimento e poteva essere acciuffato solo afferandone la ciocca di capelli che si agitava al vento. Se si mancava la presa, non ci sarebbe stato più nulla da fare: il kairós sarebbe andato via per sempre portandosi con sé la possibile occasione di cambiamento.
Tutto ciò è magnificamente rappresentato in musica dai celebri versi del secondo movimento - Fortunae plango vulnera - dei Carmina Burana di Carl Orff: "Verum est quod legitur, fronte capillata, sed plerumque sequitur occasio calvata", ossia "è vero ciò che si sente dire, la fortuna ha la fronte chiomata ma, quando passa, è calva".



I primi tentativi di analisi maggiormente razionale dei fenomeni aleatori - dal latino alea, "dado" - risalgono a diversi secoli dopo e sono legati appunto al gioco dei dadi.

Mentre le carte comparirono attorno al 1350, i dadi erano diffusi da diverso tempo, come si può constatare dalle numerose restrizioni e dai veti emanati nel corso dei secoli, atti a scoraggiare non tanto i giochi di sorte in sé quanto i vizi che li accompagnavano. Per esempio, nel 1232 Federico II di Svevia promulgò la legge de aleatoribus e una ventina di anni dopo, nel 1255, il re di Francia Luigi IX proibì non solo il gioco, ma persino la costruzione dei dadi. Nel 1423 ritroviamo i medesimi divieti nel sermone Contra aleatorum ludus di san Bernardino da Siena, anche se c'è da dire che dal X al XIII secolo si erano susseguiti una serie di editti che vietava allo stesso clero di partecipare al gioco. Addirittura coloro che partivano per la terza Crociata - non quella dei personaggi di Diablo, ma quella storica avvenuta tra 1189 e 1192 - erano in possesso di una prescrizione che limitava il loro comportamento nei confronti delle scommesse: a nessuno che fosse al di sotto del grado di cavaliere veniva concesso di giocare per denaro e comunque cavalieri e religiosi non potevano perdere più di 20 scellini al giorno. E a proposito di dadi, nel canto VI del Purgatorio, Dante richiama nei suoi endecasillabi il gioco della zara che utilizzava ben 3 dadi. Le regole erano davvero molto semplici: a turno, ciascun giocatore esclamava un numero compreso tra 3 e 18 e gettava i dati. Il vincitore era colui che per primo otteneva il punteggio pari al numero chiamato. Questi sono i versi a cui alludevo:

Quando si parte il gioco de la zara,
colui che perde si riman dolente,
ripetendo le volte, e tristo impara

Fino ad ora però abbiamo solamente osservato il concetto di probabilità nella storia legato ai miti, alla letteratura e al gioco. E la matematica? Ebbene, alla fine del XIV secolo un anonimo abacista presentò una soluzione algebrica del cosiddetto problema della divisione della posta, cioè come dividere la posta tra 2 o più giocatori, tenendo conto del punteggio realizzato quando il gioco viene interrotto e nessuno dei giocatori ha ancora conseguito i punti necessari alla vittoria. Il suddetto problema accompagnò la nascita del calcolo delle probabilità, branca della matematica che fiorirà nel Seicento per opera di grandi matematici come Pierre de Fermat e Blaise Pascal. Di quest'ultimo viene elaborata una splendida e sintetica ricostruzione biografica per opera di F.R. Chateaubriand, che mi piacerebbe leggervi:

"Ci fu un uomo che a 12 anni, con aste e cerchi, creò la matematica; che a 16 compose il più dotto trattato sulle coniche dall'antichità in poi; che a 19 condensò in una macchina una scienza che è dell'intelletto; che a 23 anni dimostrò i fenomeni del peso dell'aria ed eliminò uno dei grandi errori della fisica antica; che nell'età in cui gli altri cominciavano appena a vivere, avendo già percorso tutto l'itinerario delle scienze umane, si accorge della loro vanità e volse la mente alla religione; che da quel momento sino alla morte - avvenuta a 39 anni - sempre malato e sofferente, fissò la forma della lingua in cui dovevano esprimersi Bossuet e Racine, diede il modello tanto del motto di spirito più perfetto quanto del ragionamento più rigoroso; che infine, nei brevi intervalli concessigli dal male, risolse quasi distrattamente uno dei maggiori problemi della geometria e scrisse dei pensieri che hanno sia del divino che dell'umano."

So che il mio collega non si dilettava nel darvi spiegazioni sulla storia della matematica. Io, al contrario, cercherò di fare in modo che i concetti spiegati vengano analizzati a 360°, fermandosi anche quando opportuno sui grandi protagonisti e sulle interessanti vicende ad essi attinenti. La matematica - e penso che questa mia prima lezione già possa iniziare a farlo capire - è meravigliosa, magica e piena di sorprese!" questa fu la brillante e chiara spiegazione del prof. Merlino.
"Che dire prof., sono pienamente d'accordo con le sue affermazioni. Sono stato persino sospeso per aver detto cose simili...Per fortuna, finalmente, c'è qualcuno che ci farà vedere la matematica così come realmente è: una meraviglia!" asserì rincuorato Leo.
"Prof. i miei complimenti per la spiegazione davvero incredibile, però sarei curioso di capire cosa c'entra la probabilità con Diablo 3. Ci ha lasciato sulle spine!" esclamò un alunno che attentamente stava seguendo la bella lezione.
"Avete ragione, dopo questo breve ma doveroso excursus storico, ritorniamo al nocciolo della questione. Che diavolo c'entra la probabilità con Diablo 3?
Ogni personaggio del gioco aumenta man mano il valore dei suoi danni inflitti - oltre attraverso specifiche abilità di potenziamento - raccogliendo oggetti sempre migliori e indossandoli.
Questi oggetti hanno diverse statistiche, sia di carattere offensivo, sia difensivo, che di utilità varia.
Il danno inflitto dipende sostanzialmente da statistiche chiave (oltre ad alcune particolari, come l'aumento del danno elementare, l'aumento del danno ai nemici importanti, i cosiddetti élite, i danni ad area, ecc.) quali il danno dell'arma, la statistica primaria (intelligenza nel caso di sciamano e mago, destrezza per quanto riguarda monaco e cacciatore di demoni, forza per quanto concerne barbaro e crociato), la velocità d'attacco e la probabilità di colpo critico.

Esempio statistiche monaco

Ecco, quest'ultima è il più delle volte la statistica fondamentale su cui basarsi. Che significa probabilità di colpo critico? Semplice, che quando un personaggio attacca, oltre ad infliggere un danno "puro" basato sulle altre statistiche, esso ha una certa probabilità di infliggere un grosso danno aggiuntivo, il danno da colpo critico (valore che si può incrementare sempre attraverso degli oggetti).
La probabilità di colpo critico è un valore ovviamente compreso tra lo 0% e il 100% e, in generale, più è alta, meglio è, dato che le speranze di "crittare" e dunque di fare maggiori danni ai nemici salgono.
Si notano facilmente le differenze in termini di efficienza tra un personaggio con una probabilità di colpo critico che si attesta sul 30% e uno con una probabilità di critico di oltre il 50%.
Vi piacerebbe vedere la probabilità di colpo critico in azione?" domandò il prof. alla classe.
Tutti gli studenti all'unisono intonarono un sì. Il professore tirò fuori il suo pc dalla borsa, si recò su youtube e avviò un video.



"Come potete osservare" spiegò il professore "quando la barbara riesce ad attivare un colpo critico con l'abilità "Maglio degli antichi", sullo schermo compare un numerino giallo; nel caso in cui l'abilità non abbia "crittato", quel numerino non compare.

"Maglio degli Antichi" e le sue rune

Dato l'alto numero di volte in cui è comparso un numerino giallo, si può facilmente concludere che quella barbara aveva un'elevata probabilità di colpo critico, sicuramente superiore al 50%, anzi decisamente superiore. Giocare con una probabilità di critico oltre il 50% è equivalente a giocare con una moneta truccata in cui testa abbia ad esempio maggiori probabilità di uscire di croce!". Il concetto di probabilità non appare in Diablo solo nelle statistiche del danno, ma pure nei ritrovamenti magici. Ogni oggetto di tipo leggendario ha una specifica probabilità di essere rinvenuto - in gergo "diablesco" si dice "droppato" - rispetto a quelli della stessa categoria. Un esempio eclatante è il caso del pugnale cerimoniale, per sciamano, Kukri astrale, il più importante per quella classe.

Quando avviene il ritrovamento di un pugnale cerimoniale leggendario, secondo alcune fonti, ci sarebbe solo l'1,64% di probabilità che esso sia il famigerato Kukri. Quindi bisogna avere tanta, tanta fortuna per trovarlo!" disse il prof.
"Prof., ma invece la velocità d'attacco cos'è precisamente?" domandò un allievo.
"Domanda pertinente, ma ne parleremo nella prossima lezione. Il tempo a disposizione è purtroppo finito per oggi. La campanella sta per suonare!".



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Questa è la terza parte del racconto dedicato alla tematica "La matematica che vorreste vedere a scuola". Qui e qui rispettivamente la prima e la seconda parte.